已知函数 , . 求函数

一、已知函数 , . 求函数

1、（Ⅰ）把k=e代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的符号得到函数的单调区间，进一步求得函数的极值；

2、（Ⅱ）求出函数h（x）的导函数，当k≤0时，由函数的单调性结合h（1）=0，可知h（x）≥0不恒成立，当k＞0时，由函数的单调性求出函数h（x）的最小值，由最小值大于等于0求得k的值．

3、解：（Ⅰ）注意到函数f（x）的定义域为（0，+∞），

4、h（x）=lnx- k(x−1)/x(x＞0)，

5、当k=e时，h′(x)＝ 1/x− e/x2＝ x−e/x2，

6、若0＜x＜e，则h′（x）＜0；若x＞e，则h′（x）＞0．

7、∴h（x）是（0，e）上的减函数，是（e，+∞）上的增函数，

8、故函数h（x）的减区间为（0，e），增区间为（e，+∞），极小值为2-e，无极大值．

9、（Ⅱ）由（Ⅰ）知h′(x)=1x−kx2＝x−kx2，

10、当k≤0时，h′（x）＞0对x＞0恒成立，

11、∴h（x）是（0，+∞）上的增函数，

12、注意到h（1）=0，∴0＜x＜1时，h（x）＜0不合题意．

13、当k＞0时，若0＜x＜k，h′（x）＜0；

14、∴h（x）是（0，k）上的减函数，是（k，+∞）上的增函数，

15、故只需h（x）min=h（k）=lnk-k+1≥0．

16、u′(x)＝1x−1＝1−xx，

17、当0＜x＜1时，u′（x）＞0；当x＞1时，u′（x）＜0．

18、∴u（x）是（0，1）上的增函数，是（1，+∞）上的减函数．

19、故u（x）≤u（1）=0当且仅当x=1时等号成立．

20、∴当且仅当k=1时，h（x）≥0成立，

二、高中数学,已知函数

1、该题的第一问比较简单，就是借助该函数的导函数与0的大小，得出函数g(x)的单调性即可。

2、该题第二问，只需要得出函数f(x)的最小值大于e/2即可。

3、当a<0时，函数f(x)易判断函数的单调性，但是a>0时很难判断。

4、此时要借助函数的二次导数和该函数一次导数的函数值来得到该函数的单调性。

5、这也是本题考察的最主要的内容。

三、已知函数,如何求它的曲线积分表达式

当形成曲线的动点P（x，y），随着另一个已知曲线f（x，y）=0上的动点Q（w，z）有规律的运动时，我们可以得到w=g（x，y），z=h（x，y），再利用f（x，y）=0，可得到曲线方程。

对曲线方程进行积分，以求得需要的数学量，称为曲线积分。

1、在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分；

2、对弧长的曲线积分称为第一类曲线积分，对于第一类曲线积分，不含被积函数，是曲线积分长度；含被积函数，理解为被积函数是曲线线密度，积分就是曲线质量或面积；

3、对坐标轴的曲线积分称为第二类曲线积分，对于第二类曲线积分，把积分函数看成力F,积分之后为力F沿着曲线所作功。