动量v1和v2推导公式是什么

一、动量v1和v2推导公式是什么

1、1/2m1v1^2+1/2m2v2^2=1/2m1v1'^2+1/2m2v2'^2

2、由一式得m1（v1-v1'）=m2（v2'-v2）......a

3、由二式得m1（v1+v1'）（v1-v1'）=m2（v2'+v2）（v2'-v2）

4、相比得v1+v1'=v2+v2'......b

5、联立a，b可求解得v1'=[(m1-m2）v1+2m2v2]/（m1+m2）

6、v2'=[(m2-m1）v2+2m1v1]/（m1+m2）

7、动量守恒定律是自然界中最重要最普遍的守恒定律之一，是一个实验规律，也可用牛顿第三定律结合动量定理推导出来。

8、动量是一个瞬时量，动量守恒定律指的是系统任一瞬间的动量和恒定。所以，列出的动量守恒定律表达式m1v1+m2v2+…=m1v1ˊ+m2v2ˊ+…，其中v1，v2…都是作用前同一时刻的瞬时速度，v1ˊ，v2ˊ都是作用后同一时刻的瞬时速度。

9、只要系统满足动量守恒定律的条件，在相互作用过程的任何一个瞬间，系统的总动量都守恒。在详细问题中，可通过任何两个瞬间系统内各物体的动量，列出动量守恒表达式。

二、动量守恒定律的公式是什么

动量守定律内容是高考热点,学生掌握其内容实质有时不到位,使在应用时总感到困难或出错.要准确地理解动量守恒定律内容,应该要把握其八性,即条件性、普适性、任意性、矢量性、独立性、近似性、同时性、一致性.

动量守恒定律内容是：一个系统不受外力或者所受合外力之和为零,这个系统的总动量保持不变.

表达式为：m1v1+ m2v2+……+ mnvn=m1 v1′+ m2 v2′+……+ mn vn′

任何物理定律都有其适用条件和适用范围,这是我们学习定律时的一个重要方面.对于动量守恒定律,其适用条件是：系统合外力为零或不受外力（在此要明确内力与外力区别）；其适用范围是：小到微观粒子,大到天体,不论是什么性质的相互作用力,即使对相互作用力的情况还了解得不太清楚,还有速度大到光速都适用,可以用“宏观低速,微观高速”来概括其适用范围即普遍适用.（有些人认为既然是普遍适用,也就不存在适用范围,这是错误的.）

“这个系统总动保持不变”由于我们应用时常常利用几个确定状态,使一些同学们理解具有一定的片面性,认为就是这几状态保持不变,其实在满足条件下任意时刻的总动量（大小、方向）是不变的.应用时常常确定某状态或稳定后的状态,有时应用其判断动量不守恒是一个很好的方法.

如图所示.在光滑的水平面上有木块A和B,质量分别为mA、mB它们的上表面粗糙,今有一小铁块C以初速度V0沿两木块上表面擦过,C铁块的质量为mC,最后C铁块滑离了B,（1）C滑上A时的A、B、C的总动量?（2）在C滑到A的中点时C的速度为VC1,A的速度为VA1求此时A、B、C的总动量（3）若C滑离A时A的速度为VA2,C的速度为VC2,求C滑离A时,A、B、C的总动量?（4）C滑到B的中点时C的速度为VC3 B的速度为VB3求此时A、B、C的总动量?（5）C滑离B时C的速度为VC4而B的速度为VB4求C滑离B时.（6）以上五个时刻对A、B、C三物块构成的系统来说其总动量是否相同?（7）当C滑到A或B中的任何位置时A、B、C的总动量是否会变化?

分析与（1）在C则滑上A时,A、B由于惯性其速度仍然为0.所以此时系统的总动量为p1=mCV0（2）在C滑到A的中点时,A受到C的摩擦力向前加速,由于B在A的前面使A、B间相互挤压而没有发生相对运动具有相同速度即此时VB1=VA1,所以此时系统的总动量为p2= mA VA1+mBVB1+mCVC1（3）在C滑离A时,B与A接触无相互挤压具有相同的速度即VB2=VA2,所以此时系统的总动量为p2=mAVA2+mBVB2+mCVC2（4）C滑离A后A受到的合外力为零,由牛顿第一定律可知此后A做匀速直线运动,速度大小为VA2.所以此时A、B、C的总动量为p3=mAVA2+mBVB3+mCVC3（5）C滑离B时A的速度仍为VA2所以此时A、B、C的总动量为p4=mAVA2+mBVB4+mCVC4（6）以上五个时刻对A、B、C三物块构成的系统来说其总动量相同,因为系统所受合外力为零.（7）当C滑到A或B中的任何位置时A、B、C的总动量是不变化的,因为此过程中系统所受合外力为零.

因为总动量是系统中各物体动量的矢量和,所以这是一个矢量方程,只要系统所受合外力为零,无论是直线上,平面、空间中动量都不变的,不过在高中阶段要求在同一直线上的动量守恒定律的应用,故掌握同一直线上的矢量运算方法是正确应用动量守恒定律解题的基础.

有时系统所受的合外力不为零,即动量不守恒,但系统在某方向上合外力为零（特别是互相垂直的两方向一方向合力为零,另一方向上合力不为零）,则系统就该方向上动量保持不变.动量守恒定律的独立性的成立基于力的独立性这一基础.所示,一质量为M的小车以v1速度在光滑的水平面上运动,一质量m为速度为v2的物体,以俯角为的方向落到车上并陷于车中的砂内,此后车速度变为多少?

分析与小球和车子组成的系统在陷入车中的过程中（因小球在竖直方向上做减速运动）外力不为零,但系统水平方向合外力为零,所以系统水平方向量守恒.取车子运动方向为正方向,因为车子与小球组成的系统水平方向动量守,所以有：mv2cosθ+M v1=(M+m) v

近似性是高中阶段定量计算应用较多的情况,近似性是源于系统相互作用时间短,相互作用时内力大,合外力虽不为零但仍可以应用动量守恒定律解题,这是因为这样应用结果产生的误差是极小的,而给我们计算带来了巨大的简化.下面加于证明,设系统有两个物体m1、m2相互作用设m2对m1的作用力为F21,作用时间为t1,设m1对m2的作用力为F12,作用时间为t2,m1受到除F21外的其它力的合力为F1,m2受到除F12外的其它力的合力为F2,且F21>>F1和F12>>F2,对在m1、m2相互作用过程中应用动量定理对m1应用动量定理：（F21+ F1）t1＝m1 v1′－m1v1⑴对m2应用动量定理：（F12+ F2）t2＝m2 v2′－m2v2⑵在⑴⑵的左边（F21+ F1）t1,（F12+ F2）t2,由于F21>>F1和F12>>F2,由平行四边形定则可知F1和F2可以不计即可近似地转化为：

由牛顿第三定律可知：F21＝－F12；t1=t2即 F21 t1=t2＝－F12t2（5）由（3）（4）（5）式得： m1 v1′－m1v1＝m2 v2′－m2v2由此得到： m1v1+m2v2=m1 v1′+m2 v2′（6）

（6）式说明这种情况下尽管F1与F2合力（即系统所受的合外力）不为零总动量保持不变,这就是近似性.

在碰撞现象和爆炸现象中其系统内的物体间的相互作用力巨大且作用时间短满足近似性要求,故遇到碰撞和爆炸现象时都可以应用动量守恒定律解题,而不用判断动量守恒条件是否成立.

m1v1+ m2v2……+ mnvn= m1 v1′+ m2 v2′……+ mn vn′

等式左边有n个速度,右边也有n个速度,其间还有n个质量,由于质量不变性（除高速运动物体外）,而速度具有相对性：即物体的运动总是相对某一参考系来说的,对不同的参考系同一物体的运动速度会不同,所以要正确应用动量守量定律,这2n个速度必须是相对同一参考系,即为一致性.左边n个速度必须是同一时刻,右边n个速度也必须是与左边时刻不同的同一时刻,这就是同时性,在应用动量守恒定律解题时同时必然要考查,属基本要求.而一致性的要求较高,在高考中不做要求.一般地在考查动量守恒定律的一致性时对同时性的理解也提高了要求.

三、动量定理和动能定理如何推导

动量定理和动能定理是牛顿力学中非常重要的定理，它们可以通过联立方程推导出来。下面将详细介绍推导过程。

动量定理表明，当一个物体受到外力作用时，它的动量的变化率等于外力的大小。

设一个物体质量为m，速度为v，外力为F。根据牛顿第二定律，有：

物体的动量p定义为质量乘以速度，即：

我们对上述方程两边同时求导数，得到：

dp/dt= m* dv/dt+ v* dm/dt（4）

由于物体的质量m是常数，所以dm/dt= 0，将其代入方程（4）中，得到：

再根据牛顿第二定律F= ma，将ma替换dp/dt，得到：

这就是动量定理的表达式，它说明了力和动量之间的关系。

动能定理表明，当一个物体受到外力作用时，它的动能的变化率等于外力对物体做的功。

设一个物体的质量为m，速度为v，动能为K。物体受到的外力F做功W，根据功的定义有：

其中s为物体在力F的作用下位移的距离。

根据牛顿第二定律F= ma，可以将公式（7）改写为：

将速度v和位移s之间的关系v= ds/dt代入公式（8）中，得到：

由于ds/dv可以表示为时间t的函数，将其用dt表示，得到：

由于W即为动能的变化量ΔK，所以可以用ΔK表示W，得到：

将上式从初态到末态积分，得到：

K2- K1= 1/2* m*(v2^2- v1^2)（14）

其中K2和K1分别为物体在末态和初态的动能，v2和v1分别为末态和初态的速度。

综上所述，方程（14）就是动能定理的表达式，它说明了外力对物体做功和动能之间的关系。

将动量定理和动能定理联立起来，可以得到更加深刻的结论。根据动量定理，有F= dp/dt，根据动能定理，有F= ma= dp/dt= d(mv)/dt。将这两个表达式相等，可以得到：

这是联立动量定理和动能定理的方程，它进一步说明了力、动量和动能之间的关系。