函数有哪些应用

一、函数有哪些应用

1、函数应用广泛，主要体现在以下几个方面：

2、函数可以通过数学模型将现实生活中的各种问题抽象化，帮助我们解决实际问题。例如，物理中的运动规律、经济学中的供需关系、环境中的温度变化等，都可以用函数来描述和预测。这些函数的运用使得我们能更准确地理解自然现象和社会现象，进而作出相应的决策。

3、函数在图形表示上有着广泛的应用。通过函数的图像，我们可以直观地展示数据的分布和变化趋势。在科学研究、工程设计和计算机图形学等领域，函数图像为我们提供了直观的视觉工具，帮助我们理解复杂的数据和公式。

4、求解方程的问题转化为函数的问题也是函数的另一应用方向。当某个未知数与函数相关时，可以通过对函数的性质进行研究，进一步得到该未知数的性质或者数值范围。如求最大值问题或者几何意义问题等，可以充分利用函数的性质解决一些难题。利用函数解决问题还可以优化效率和质量。在大数据处理过程中使用特定的函数可以有效筛选出我们想要的信息等。同时还可以进一步进行数据拟合、计算效率提升等工作，达到解决实际问题的工作效率的提升目的。

5、除了以上几个方面外，在实际编程中也有广泛的运用，各种运算和算法都可以利用函数进行实现和优化等。总的来说，函数的应用非常广泛且重要，涉及到各个领域中的实际问题解决和数据处理等方面。因此我们需要对函数进行充分的学习和理解，以便更好地应用它来解决实际问题。

二、函数值的应用举例

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

对于k·π/2±α（k∈Z）的个三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

sin（2π－α）=sin（4·π/2－α），k=4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈（270°，360°），sin（2π－α）<0，符号为“－”。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；

第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；

第三象限内切函数是“+”，弦函数是“－”；

第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”．

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）

构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

cos2α=cos^2（α）－sin^2（α）=2cos^2（α）－1=1－2sin^2（α）

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2（α）+sin^2（α））......*，

（因为cos^2（α）+sin^2（α）=1）

再把*分式上下同除cos^2（α），可得sin2α=tan2α/（1+tan^2（α））

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

=(sin2αcosα+cos2αsinα）/(cos2αcosα-sin2αsinα）

=（2sinαcos^2（α）+cos^2（α）sinα－sin^3（α））/(cos^3（α）－cosαsin^2（α）－2sin^2（α）cosα）

tan3α=（3tanα－tan^3（α））/（1-3tan^2（α）)

sin3α=sin（2α+α）=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos^2（α）+（1－2sin^2（α））sinα

=2sinα－2sin^3（α）+sinα－2sin^2（α）

cos3α=cos（2α+α）=cos2αcosα－sin2αsinα

=（2cos^2（α）－1）cosα－2cosαsin^2（α）

=2cos^3（α）－cosα+（2cosα－2cos^3（α））

正弦三倍角：3元减 4元3角（欠债了（被减成负数），所以要“挣钱”（音似“正弦”））

余弦三倍角：4元3角减 3元（减完之后还有“余”）

注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

sinα+sinβ=2sin—----·cos—---

sinα－sinβ=2cos—----·sin—----

cosα+cosβ=2cos—-----·cos—-----

cosα－cosβ=－2sin—-----·sin—-----

sinα·cosβ=0.5[sin（α+β）+sin（α－β）]

cosα·sinβ=0.5[sin（α+β）－sin（α－β）]

cosα·cosβ=0.5[cos（α+β）+cos（α－β）]

sinα·sinβ=－ 0.5[cos（α+β）－cos（α－β）]

首先，我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y，那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式：

sinx+siny=2sin((x+y)/2）*cos((x-y)/2）

sinx-siny=2cos((x+y)/2）*sin((x-y)/2）

cosx+cosy=2cos((x+y)/2）*cos((x-y)/2）

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2）*sin((x-y)/2）

三、利用函数的幂级数展开式求。

1.∫{0,1} ln(x)/(1+x) dx其实是个瑕积分,按定义是lim{ε→0+}∫{ε,1} ln(x)/(1+x) dx.

由分部积分公式,∫{ε,1} ln(x)/(1+x) dx= ln(1)ln(2)-ln(ε)ln(1+ε)-∫{ε,1} ln(1+x)/x dx.

当ε→0+, ln(1)ln(2)-ln(ε)ln(1+ε)=-ln(ε)ln(1+ε)收敛到0.

而∫{ε,1} ln(1+x)/x dx收敛到∫{0,1} ln(1+x)/x dx.

因此∫{0,1} ln(x)/(1+x) dx=-∫{0,1} ln(1+x)/x dx,问题化为第2问.

2.在x= 0处幂级数展开ln(1+x)= x-x²/2+x³/3-...=∑{n≥ 1}(-1)^(n-1)·x^n/n

因此ln(1+x)/x= 1-x/2+x²/3-x³/4+...=∑{n≥ 1}(-1)^(n-1)·x^(n-1)/n

级数在(-1,1)内闭一致收敛,可逐项积分.

对0< a< 1,有∫{0,a} ln(1+x)/x dx= a-a²/2²+a³/3²-...=∑{n≥ 1}(-1)^(n-1)·a^n/n².

令a→1-,可得∫{0,1} ln(1+x)/x dx= 1-1/2²+1/3²-...=∑{n≥ 1}(-1)^(n-1)·1/n².

如果承认正整数平方倒数和∑{n≥ 1} 1/n²=π²/6,那么可以算出∑{n≥ 1}(-1)^(n-1)·1/n².

首先偶数平方倒数和∑{n≥ 1} 1/(2n)²=(1/4)·∑{n≥ 1} 1/n²=π²/24.

于是奇数平方倒数和∑{n≥ 1} 1/(2n-1)²=(∑{n≥ 1} 1/n²)-(∑{n≥ 1} 1/(2n)²)=π²/8.

故∑{n≥ 1}(-1)^(n-1)·1/n²=奇数平方倒数和-偶数平方倒数和=π²/12.

∫{0,1} ln(1+x)/x dx=π²/12.

∫{0,1} ln(x)/(1+x) dx=-π²/12.