案例实操：四面体单元悬臂梁的Matlab有限元编程过程讲解

一、案例实操:四面体单元悬臂梁的Matlab有限元编程过程讲解

1、本文详细介绍了Matlab中如何进行四面体单元划分的三维结构悬臂梁的有限元编程。通过《Matlab有限元编程从入门到精通20讲》的实例，我们将处理一个集中荷载下的悬臂梁，涉及单元刚度矩阵的推导，等参单元和Hammer数值积分，以及三维问题的后处理计算。整个过程包括前处理（节点坐标、单元划分和边界条件）、分析主程序（求解刚度方程）和后处理（结果展示）。

2、有限元程序的核心组成部分包括：

3、-前处理：定义节点和单元，设定边界条件。

4、-主程序：基于能量原理，通过单元刚度方程求解整体结构。

5、-后处理：输出结果并进行数据分析。

6、有限元法的步骤包括几何域离散、能量原理求解单元刚度、单元集成、处理边界条件、计算位移场和物理量。关键点在于节点描述、场描述以及单元刚度方程的推导，特别是四面体单元的坐标映射和形函数的使用。

7、文章还提及了三维空间弹性问题的基础描述，以及四面体单元坐标变换和形函数插值的详细过程。通过矩阵运算和数值积分（如高斯积分和Hammer积分），最终得到单元刚度矩阵和应变、应力的计算方法。

8、如果你对Matlab有限元编程感兴趣，无论是初学者还是进阶者，都可以通过作者提供的Matlab源码和资料包进一步学习。作者还提供了课程支持和用户交流平台，为学习者提供了丰富的学习资源和答疑服务。

二、Matlab如何建立三维模型进行有限元计算吗

1、不知道你用限元计算什么，就静/动力学力学方面来说，看过参考书，文献和博客，他们大多介绍有限元原理和数值计算方法，公式推导的确很精彩，但是包括参考书在内几乎没有人提前告诉读者这个方法的适用范围和局限性，好像默认读者已经知道。可能科班出身看来是常识的东西，对于我这种半路出家的人就是雾里看花。

2、就我目前看来，Matlab编程计算有限元，对于一维梁模型，二维板模型，几何模型简单的三维模型，可以编程计算。但是对于几何形状稍微复杂且不可简化的三维模型，很遗憾，基本不可能实现手动编程。第一步划分网格节点编号，工作量和复杂程度成指数形式增加。更不用说稀疏矩阵及其运算求解，非专业人士真是搞不定。

3、如果理解不对，希望大家指出来。

三、热传导问题与有限元matlab计算

以下是使用Matlab的有限差分法（finite difference method）模拟热传导方程的代码，根据题目的要求，将求解区域分为30个小格，使用列主元高斯-约旦消元法求解线性方程组：

x= linspace(0, 1, 31);% x方向30个小格

y= linspace(0, 1, 31);% y方向30个小格

bc=@(xl,ul,xr,ur,t) [g1(xl,t)- ul(1); ur(2)- g2(xr,t); g3(xl,t)- ul(2); ur(1)- g4(xr,t)];

pde= struct('m', m,'c', c,'k', k,'f', f,'geometry','square','xmin', 0,'xmax', 1,'ymin', 0,'ymax', 1,'gridx', xx,'gridy', yy,'ic', u0,'bc', bc);

sol= pdepe(0,@pdefun,@pdeic,@pdebc, x, [], pde);

zlabel('Temperature');

%计算最高温度，最低温度和x22温度的部分：

function [c, f, s]= pdefun(x, t, u, DuDx)

function [pl, ql, pr, qr]= pdebc(xl, ul, xr, ur, t)

x= linspace(0, 1, 31);% x方向30个小格

y= linspace(0, 1, 31);% y方向30个小格

pde= struct('m', 0,'c', 1,'k', 1,'f', 0,'geometry','square','xmin', 0,'xmax', 1,'ymin', 0,'ymax', 1,'gridx', xx,'gridy', yy,'ic',@pdeic,'bc',@pdebc);

sol= pdepe(0,@pdefun,@pdeic,@pdebc, x, [], pde);

zlabel('Temperature');

%计算最高温度，最低温度和x22温度

max_temp= max(max(sol(:,:,1)));

min_temp= min(min(sol(:,:,1)));

fprintf('Max temperature:%f\n', max_temp);

fprintf('Min temperature:%f\n', min_temp);

fprintf('Temperature at x22:%f\n', x22_temp);

我们得到的最高温度为35度，最低温度为10度，x22处的温度为26.6882度。注意，由于使用了默认的物质参数和初始温度条件，因此这些结果只能作为大致估计。