什么是多元函数

一、什么是多元函数

1、设D为一个非空的n元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

2、记为y=f(x1,x2,…,xn)其中( x1,x2,…,xn)∈D。变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。

3、当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。

4、多元函数的本质是一种关系，是两个集合间一种确定的对应关系。这两个集合的元素可以是数；也可以是点、线、面、体；还可以是向量、矩阵等等。一个元素或多个元素对应的结果可以是唯一的元素，即单值的。也可以是多个元素，即多值得。

5、人们最常见的函数，以及我国中学数学教科书所说的“函数”，除有特别注明者外，实际上（全称）是一元单值实变函数。

6、由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U，则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。

7、基本初等函数及其图像。幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。

8、以上内容参考：百度百科--多元函数

二、多元函数的泰勒公式

1、多元函数的泰勒公式是f(x，y)=f(a，b)+df(a，b)/dx[x-a]+df(a，b)/dy[y-b]+d^2f(a，b)/dx^2[x-a]^2/2+d^2f(a，b)/dy^2[y-b]^2/2+d^2f(a，b)/[dxdy][x-a][y-b]+h。

2、设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。

3、若对于每一个有序数组( x1，x2…xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

4、记为y=f(x1，x2…xn)，其中( x1，x2…xn)∈D。变量x1，x2…xn称为自变量，y称为因变量。

5、当n=1时，为一元函数，记为y=f(x)，x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x，y)，(x，y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。

三、多元函数有单调性吗

1、多元函数有单调性，但其单调性的定义和一元函数有所不同。

2、对于一元函数，我们很容易理解其单调性：如果函数随着x的增加而增加，我们称其为增函数；如果函数随着x的减少而减少，我们称其为减函数。然而，对于多元函数，由于其定义域是多个变量的集合，因此我们不能简单地使用一元函数的单调性定义。

3、在多元函数中，我们讨论单调性时，需要考虑函数在各个变量方向的变化情况。如果多元函数在某个变量的所有可能取值上都是单调增加的（或减少的），则我们称这个函数在这个变量上是单调的。例如，二元函数f(x,y)在x方向上单调增加，意味着对于任意的y值，f(x,y)都随着x的增加而增加。

4、需要注意的是，多元函数的单调性并不意味着函数在整个定义域上都是单调的，而只是在特定的变量方向上。例如，函数f(x,y)=x+y在x和y方向上都是单调增加的，但这并不意味着f(x,y)在整个定义域上是单调增加的。因为，当我们固定x，让y减小，f(x,y)也会随之减小；同样地，当我们固定y，让x减小，f(x,y)也会随之减小。

5、总的来说，多元函数的单调性是一个相对复杂的概念，需要考虑多个变量方向的变化情况。在具体的分析中，我们需要结合函数的特性和实际问题的需要，来理解和利用多元函数的单调性。